《张朝阳的物理课》介绍量子力学(3)

这样一组基被称为单位正交基。在这组单位正交基下，把位置矢量记为

于是f(t)满足

对于黑体辐射，利用经典电磁理论得到的黑体辐射谱为

单位基矢为

量子力学对现实世界的意义 能量阶梯

将其代入薛定谔方程，有

后来，德布罗意参考了爱因斯坦的光子理论，提出一个更加大胆的假设，认为所有粒子都具有波的特性，且波长为h/p，此即所谓的“物质波”理论。此后，该理论在不同的粒子上都得到了验证。德布罗意的物质波理论表明，粒子不仅是粒子，具有动量和能量，同时也是波，能够发生衍射、干涉等效应，这就是波粒二象性。

接着，张朝阳介绍了“能量阶梯”的相关知识。不同类型的物理过程对应的特征能量标度存在数量级上的差异。比如化学变化所对应的能量标度为几个电子伏特，而核反应对应的能量标度可达兆电子伏特。能量标度的不同决定了各温度下的主要物理过程。比如室温下能发生的过程主要是化学过程，而要发生核聚变则需要达到百万开尔文的温度(注：原子核衰变是一个自发过程，即使在低温下也能发生)。正因为能量阶梯的存在，宇宙在大爆炸之后不断膨胀，温度不断降低，从而从高到低经历各个能量标度，这就决定了宇宙的物质形成是分阶段的。直到宇宙诞生38万年后，质子才捕获电子形成了原子。

于是，有

可见氢原子波函数是满足不确定性原理的。

于是，光波中的指数部分可以进行如下改写：

张朝阳介绍了和量子力学有关的三个经典物理危机：双原子分子气体的比热问题、黑体辐射和光电效应。

这组本征矢构成一组正交基，因此任何一个波函数都可以借助这组本征矢进行展开：

薛定谔方程的提出 波函数的物理意义

希尔伯特空间 算符与平均值

既然认为所有粒子都是一种波，那么就需要一个描述其演化的波动方程。张朝阳给现场的听众和线上的网友们介绍了薛定谔猜测波动方程的思路。首先，自由粒子的波函数满足

上式左边只和t有关，右边只和x有关，因此等式两边只能是个常数，设它为常数E：

当然，单位正交基可以存在很多，比如球坐标的基矢也可以作为一组单位正交基，在这组基矢下位置矢量可以表示为

薛定谔方程是一个齐次线性方程，因此对于满足该方程的两个或多个解，相应的线性叠加依然是该方程的解。所以，波函数构成一个线性空间。进而，在波函数空间上可以定义内积，并且由这个内积诱导的度量是个完备度量。根据数学上对希尔伯特空间的定义：完备的内积空间被称为希尔伯特空间。因此，波函数空间是希尔伯特空间。

如果现实世界的物理是经典物理，或许我们现在的物质结构将无法形成。正因为量子力学原理的限制，原子才不会发生坍塌。同时，量子力学还保证了原子的同一性。宇宙在38万岁的时候产生的氢原子与今天的氢原子是一样的(假设都处于基态)。这种性质是经典物理无法提供的。

为了简单起见，这里只处理一维情况。上述波函数对时间和位置求导，有

注意这里为方便，使用的是高斯单位制。当需要使用国际单位制时，只需在出现e^2处乘以库伦定律的比例系数即可。单位制的选择不影响讨论的结果。

说回光子，在宏观下它表现为电磁波，其电场分量可以描述为

对于不是时间空间分离的波函数，总可以按上述一组波函数进行展开：

这就是一维自由粒子的薛定谔方程。

虽然这个公式是在光子的基础上推导出来的，但是我们可以合理地假设它也适用于一般的自由粒子的德布罗意波。

文章来源：《应用力学学报》 网址: http://www.yylxxb.cn/zonghexinwen/2022/0512/916.html